آموزش دستگاه مختصات

بازگشت

دستگاه مختصات چیست؟

دستگاه مختصات یک صفحه با دو محور عمود بر هم است:

  • محور طول‌ها (x): محور افقی
  • محور عرض‌ها (y): محور عمودی

این محورها صفحه را به چهار قسمت تقسیم می‌کنند که به آن‌ها ناحیه گفته می‌شود و در نمودار مقابل نمایش داده شده‌اند.

موقعیت هر نقطه با یک زوج مرتب به صورت $\textstyle{\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}}$ نمایش داده می‌شود.

نقطه‌یابی

برای پیدا کردن یک نقطه مانند $P \textstyle{\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}}$، ابتدا روی محور طول‌ها (x) به اندازه ۳ واحد به سمت راست و سپس به اندازه ۲ واحد به سمت بالا حرکت می‌کنیم. این نقطه در نمودار مقابل نمایش داده شده است.

بردار و انتقال

بردار، یک پاره‌خط جهت‌دار است که برای نمایش جابجایی به کار می‌رود. هر بردار دارای دو مولفه است که میزان حرکت افقی و عمودی را نشان می‌دهد: $$\vec{v} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix}$$ جمع متناظر با بردار را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$A + \vec{v} = \begin{bmatrix} x_A \\ y_A \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_A + v_x \\ y_A + v_y \end{bmatrix} = B$$

در نمودار مقابل، نقطه A با بردار $\vec{v}$ جمع شده و به نقطه B منتقل شده است.

طول پاره‌خط

برای محاسبه فاصله بین دو نقطه $A\textstyle{\begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}}$ و $B\textstyle{\begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \end{bmatrix}}$ از فرمول زیر که بر اساس قضیه فیثاغورس بدست آمده، استفاده می‌کنیم:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

در نمودار، مثلث قائم‌الزاویه ایجاد شده بین دو نقطه و نحوه محاسبه طول وتر آن (فاصله دو نقطه) نمایش داده شده است.

انواع قرینه

نسبت به محور طول‌ها (x): عرض قرینه می‌شود.
$$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} x \\ -y \end{bmatrix}$$
نسبت به محور عرض‌ها (y): طول قرینه می‌شود.
$$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} -x \\ y \end{bmatrix}$$
نسبت به مبدأ مختصات: هم طول و هم عرض قرینه می‌شوند.
$$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} -x \\ -y \end{bmatrix}$$
نسبت به نیمساز ربع اول و سوم (y=x): جای طول و عرض عوض می‌شود.
$$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} y \\ x \end{bmatrix}$$
نسبت به نیمساز ربع دوم و چهارم (y=-x): جای طول و عرض عوض و هر دو قرینه می‌شوند.
$$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} -y \\ -x \end{bmatrix}$$

در نمودار مقابل، قرینه‌های مختلف نقطه P را مشاهده می‌کنید.

محاسبه مساحت: روش قاب‌بندی

در این روش، یک مستطیل دور مثلث رسم کرده و مساحت مثلث‌های قائم‌الزاویه اطراف را از مساحت کل مستطیل کم می‌کنیم.

$S_{Rectangle} = 7 \times 6 = 42$

$S_1 = \frac{3 \times 6}{2} = 9$

$S_2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$

$S_3 = \frac{7 \times 3}{2} = 10.5$

$S_{ABC} = 42 - (9 + 6 + 10.5) = 16.5$